Понятия модель и моделирование. Понятие модели. Виды моделирования

По способу отображения действительности различают три основных вида моделей - эвристические, физические и математические.

Эвристические модели , как правило, представляют собой образы, рисуемые в воображении человека. Их описание ведется словами естественного языка и, обычно, неоднозначно и субъективно. Эти модели неформализуемы, т. е. не описываются формально-логическими и математическими выражениями, хотя и рождаются на основе представления реальных процессов и явлений. Эвристическое моделирование - основное средство вырваться за рамки обыденного и устоявшегося. Но способность к такому моделированию зависит, прежде всего, от богатства фантазии человека, его опыта и эрудиции. Эвристические модели используются на начальных этапах проектирования (или других видов деятельности), когда сведения о разрабатываемом объекте еще скудны. На последующих этапах проектирования эти модели заменяются на более конкретные и точные.

Физические модели - материальны, но могут отличаться от реального объекта или его части размерами, числом и материалом элементов. Выбор размеров ведется с соблюдениемтеории подобия. К физическим моделям относятся реальные изделия, образцы, экспериментальные и натурные модели.

Физические модели подразделяются на объемные (модели и макеты) и плоские (тремплеты).

Под моделью понимают изделие, являющееся упрощенным подобием исследуемого объекта.

Под тремплетом понимают изделие, являющееся плоским масштабным отображением объекта в виде упрощенной ортогональной проекции или его контурным очертанием. Тремплеты вырезают из пленки, картона и т. п. и применяют при исследовании и проектировании зданий, установок, сооружений.

Под макетом понимают изделие, собранное из моделей или тремплетов.

Физическое моделирование - основа наших знаний и средство проверки наших гипотез и результатов расчетов. Такая модель позволяет охватить явление или процесс во всемих многообразии, наиболее адекватна и точна, но достаточно дорога, трудоемка и менее универсальна. В том или ином виде с физическими моделями работают на всех этапах проектирования.

Математические модели - формализуемые, т. е. представляют собой совокупность взаимосвязанных математических и формально-логических выражений, как правило, отображающих реальные процессы и явления (физические, психические, социальные и т. д.). Модели по форме представления могут быть:

Аналитические, их решения ищутся в замкнутом виде, в виде функциональных зависимостей. Удобны, при анализе сущности описываемого явления или процесса, но отыскание их решений бывает весьма затруднено;

Численные, их решения - дискретный ряд чисел (таблицы). Модели универсальны, удобны для решения сложных задач, но не наглядны и трудоемки при анализе и установлении взаимосвязей между параметрами. В настоящее время такие модели реализуют в виде программных комплексов - пакетов программ для расчета на компьютере. Программные комплексы бывают прикладные, привязанные к предметной области и конкретной системе, явлению, процессу, и общие, реализующие универсальные математические соотношения (например, расчет системы алгебраических уравнений).

Построение математических моделей возможно следующими способами:

Аналитическим путем, т. е. выводом из физических законов, математических аксиом или теорем;

Экспериментальным путем, т. е. посредством обработки результатов эксперимента и подбора аппроксимирующих (приближенно совпадающих) зависимостей.

Математические модели более универсальны, дешевы, позволяют поставить "чистый" эксперимент (т. е. в пределах точности модели исследовать влияние какого-то отдельного фактора при постоянстве других), прогнозировать развитие явления или процесса. Математические модели - основа построения компьютерных моделей и применения вычислительной техники. Результаты математического моделирования нуждаются в обязательном сопоставлении с данными физического моделирования - с целью проверки полученных данных и для уточнения самой модели.

К промежуточным между эвристическими и математическими моделями можно отнести графические модели , представляющие различные изображения - схемы, графики, чертежи. Так, эскизу (упрощенному изображению) некоторого объекта в значительной степени присущи эвристические черты, а в чертеже уже конкретизируются внутренние и внешние связи моделируемого объекта.

Промежуточными также являются и аналоговые модели . Они позволяют исследовать одни физические явления или математические выражения посредством изучения других физических явлений, имеющих аналогичные математические модели.

Выбор типа модели зависит от объема и характера исходной информации о рассматриваемом объекте и возможностей проектировщика, исследователя. По возрастанию степени соответствия реальности модели можно расположить в следующий ряд: эвристические (образные) - математические - физические (экспериментальные).

Технические системы различаются по назначению, устройству и условиям функционирования. Следовательно, можно и нужно вносить соответствующие различия и в их модели.

В зависимости от целей исследования выделяют следующие модели:

Функциональные, предназначенные для изучения функционального назначения элементов системы, внутренних связей и связей с другими системами;

Функционально-физические, предназначенные для изучения сущности и назначения физических явлений, используемых в системе, их взаимосвязей;

Модели процессов и явлений, таких как кинематические, прочностные, динамические и другие, предназначенные для исследования тех или иных характеристик системы, обеспечивающих ее эффективное функционирование.

Модели также подразделяют на простые и сложные, однородные и неоднородные, открытые и закрытые, статические и динамические, вероятностные и детерминированные.

Часто говорят о технической системе как простой или сложной, закрытой или открытой и т. п. В действительности же подразумевается не сама система, а возможный вид ее модели, акцентируется особенность ее устройства или условий работы.

Четкого правила разделения систем на сложные ипростые не существует. Обычно признаком сложных систем служит многообразие выполняемых функций, большое число составных частей, разветвленный характер связей, тесная взаимосвязь с внешней средой, наличие элементов случайности, изменчивость во времени и другие. Понятие сложности системы - субъективно и определяется необходимыми для ее исследования затратами времени и средств, потребным уровнем квалификации, т. е. зависит от конкретного случая и конкретного специалиста.

Подразделение систем на однородные и неоднородные производится в соответствии с заранее выбранным признаком: используемые физические явления, материалы, формы и т. д. При этом одна и та же система при разных подходах может быть и однородной, и неоднородной. Так, велосипед - однородная механическая система, поскольку использует механические способы передачи движения, но неоднородная по типам материалов, из которых изготовлены отдельные части (резиновая шина, стальная рама, кожаное седло).

Все системы взаимодействуют с внешней средой, обмениваются с нею сигналами, энергией, веществом. Системы относят к открытым , если их влиянием на окружающую среду или воздействием внешних условий на их состояние и качество функционирования пренебречь нельзя. В противном случае системы рассматривают какзакрытые , изолированные.

Динамические системы , в отличие отстатических , находятся в постоянном развитии, их состояние и характеристики изменяются в процессе работы и с течением времени.

Характеристики вероятностных (иными словами,стохастических) систем случайным образом распределяются в пространстве или меняются во времени. Это является следствием как случайно, о распределения свойств материалов, геометрических размеров и форм объекта, так и случайного характера воздействия на него внешних нагрузок и условий. Характеристикидетерминированных систем заранее известны и точно предсказуемы.

Знание этих особенностей облегчает процесс моделирования, так как позволяет выбрать вид модели, наилучшим образом соответствующей заданным условиям.

Выбор модели того или иного вида основывается на выделении в системе существенных и отбрасывании второстепенных факторов и должен подтверждаться исследованиями или предшествующим опытом. Наиболее часто в процессе моделирования ориентируются на создание простой модели, поскольку это позволяет сэкономить время и средства на ее разработку. Однако повышение точности модели, как правило, связано с ростом ее сложности, так как необходимо учитывать большое число факторов и связей. Разумное сочетание простоты и потребной точности и указывает на предпочтительный вид модели.

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами . Существует ряд общих требований к моделям:

Адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;
Полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;
Гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;
Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

Разработка модели;
Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому . При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры . Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений - эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;
Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах.

По мере развития человечества происходит структуризация и оптимизация наличных у нас данных и возможностей их использования. При этом ключевой является информационная модель. На сегодняшний день она является существенно недооценённым инструментов планирования. Чтобы сломать эту тенденцию, необходимо рассказывать аудитории о её возможностях, чем и займётся автор этой статьи.

Что называют информационной моделью? Описание и структура

Так называют модель объекта. Она представлена в виде информации, что описывает существенные для конкретного случая параметры и переменные, связи между ними, а также входы и выходы для данных, при подаче на которые можно влиять на получаемый результат. Их нельзя увидеть или потрогать. В целом они не имеют материального воплощения, поскольку строятся на использовании одной информации. Сюда относятся данные, что характеризуют состояния объекта, существенные свойства, процессы и явления, а также связь с внешней средой. Это процесс называется описанием информационной модели. Это самый первый шаг проработки. Полноценной информационной моделью является обычно сложная разработка, которая может иметь много структур, что в рамках статьи сведены в три основных типа:

Описательная. Сюда относятся модели, которые создаются на естественных языках. Они могут иметь любую произвольную структуру, которая удовлетворит составляющего их человека.
Формальная. Сюда относят модели, которые создаются на формальных языках (научных, профессиональных или специализированных). В качестве примеров можно привести такое: все виды таблиц, формул, граф, карт, схемы и прочих подобных структурных формаций.
Хроматические. Сюда относят модели, которые были созданы с применением естественного языка семантики цветовых концептов, а также их онтологических предикатов. Под последними понимают возможность распознавания значений цветовых канонов и смыслов. В качестве примера хроматических моделей можно навести те, что были построены с использованием соответствующей теоретической базы и методологии.

Как видим, основной составляющей являются данные, их структура и процедура обработки. Развивая мысль, можно дополнить, что информационная модель является схемой, в которой описана суть определённого объекта, а также все необходимые для его исследования процедуры. Для более полного описания характеристик используют переменные. Они замещают атрибут цели, которая прорабатывается. И здесь имеет значительную важность структура информационной модели.

Давайте приведём пример. Описание веника и инструкция по его использованию является информационной моделью для уборщика. Но это не всё. Описание и технологический процесс изготовления веника, изложений в соответствующей документации, является информационной моделью и алгоритмом, по которому его делает производитель. Как видите, отражаются наиболее важные свойства объекта. В действительности, конечно, информационная модель – это лишь приближенное описание. В результате можно сказать, что эти данные, с помощью которых осуществляется познание реальности, являются относительно истинными.

Общая классификация

Какие информационные модели существуют? Классификация сформирована на основе самого определения:

Зависимо от количества значений переменных они делятся на динамические и статистические.
По способу описания бывают знаковыми, натурными, формализованными.
Зависимо от особенностей конструирования переменных делятся на графовые, графические, идеографические, текстовые, алгоритмические, табличные.

Виды информационных моделей

Исследованию поддаётся как физический, так и идеальный объект анализа. Это приводит к тому, что существование одинаковых информационных моделей, к которым можно подойти с тем же самых набором инструментариев, нет. Поэтому приходится использовать отдельные подходы и что-то особенное, что позволит изучить или исследовать предметную область. На основании таких суждений принято выделять три виды информационных моделей:

Математические. Благодаря им изучают явления и процессы, что являются представленными в виде наиболее общих математических закономерностей или абстрактных объектов, которых достаточно, чтобы выразить законы природы или внутренние свойства наблюдаемого. Также применяются для подтверждения правила логических рассуждений.
Компьютерные. Используется для описания совокупности переменных, что представлены абстрактными типами данных и поданы в соответствии с выдвигаемыми требованиями среды обработки ЭОМ.
Материальные. Так называют предметное отражение объекта, сохраняющее геометрические и физические свойства (глобус, игрушки, манекены). Также к материальным моделям относят химические опыты.

Типы информационных моделей

Поскольку они являются совокупностью информации, то часто характеризуют состояние и свойства объекта, явления, процесса и их взаимодействие с окружающим их миром. Зависимо от того, как они представлены и выражены, выделяют два типы информационных моделей:

Вербальные. Они создаются как результат умственной деятельности человека и представляются в словесной форме или при помощи жестикуляции.
Знаковые. Для их выражения используются рисунки, схемы, графики, формулы.

Что необходимо для их создания?

Информация, причём как можно более точная. Чем больше предоставленные данные отвечают реальным показателем, тем эффективней применяется модель на практике. Чтобы разработать модель, сначала проводится сбор всей возможной информации. Она отсеивается и остаётся та, что предоставляет наибольшую ценность для исследователя. Проводится анализ предоставляющей интерес информации, на основании которого она структурируется. И зависимо от целей исследователь из отдельных блоков данных строит необходимую модель. Потом проводится поиск ошибок и ликвидация противоречий. Когда этот шаг закончен, то разработка информационной модели тоже считается завершённой.

Где применяются информационные модели?

Везде. Только такое обозначение не всегда применяется на практике из-за его излишней научности. Инструкции для компьютеров, телевизоров, телефонов, использованных бутылей воды, автомобильных аккумуляторов – вот лишь отдельные примеры. Информационной моделью является и технология производства комбайнов, тракторов, самолётов, грузовиков, прицепов, строений. Как видите, для неё есть применение и в быту, и в промышленности. Но сам термин «информационная модель» больше применяется в последней сфере из-за того, что здесь протекают более сложные процессы с участием большого количества людей.

Пример создания

Давайте попробуем детально проанализировать, что такое информационная модель. Это не так сложно, как может показаться. В качестве примера возьмём клавиатуру. Можно определить два направления относительно пользователя: описание и вопросы настройки. Во-первых, производительно пишет в аннотации, какой это хороший продукт, что он может, как с ним удобно работать. Анализирует передовые технологии, применённые при её создании, экологические преимущества и прочие подобные вещи. Главное – понравиться. Но лгать всё же не надо, поскольку это будет иметь нежелательные последствия.

Во-вторых, прорабатываются вопросы настройки. Можно ответить на них с помощью картинок на листке-вкладыше, где будет изображено, куда вставить разъём клавиатуры в компьютер. Также может прилагаться небольшой ремонтный комплект, инструкция по его использованию, особенности построение устройства, как его следует разбирать в случае возникновения определённых проблем – и ряд других вопросов, которые можно только продумать и дать ответ пользователям на них.

Особенности

Чем больше данных, тем описание информационной модели будет сложнее. Это две стороны медали: следует выбирать между точностью и функциональностью. Чтобы не перегибать палку или избежать слабой проработки вопроса следует заранее очертить задачи для проработки и глубину их разбора. Следует позаботиться обо всех имеющихся моментах, поскольку любая проблема, допущенная на этом этапе, в будущем только добавит работы и необходимость затраты денежных средств на устранение конфликта.

Изучение аспектов информационного моделирования

С научной точки зрения этим вопросом занимается кибернетика. Поэтому, если у вас есть желание углубить свои познания в этой области, запаситесь несколькими недавно вышедшими книгами и внимательно изучите их. Хотя можно и по-другому осведомиться, что такое простейшие информационные модели. Информатика может дать необходимый базис, но для получения всей полноты знаний нужна именно кибернетика. В её рамках можно будет ознакомиться не только с детализированными принципами моделирования, но и узнать про существующие разработки, а также возможности их применения.

Заключение

Информационная модель – это важный и полезный инструмент, если правильно его использоваться. При создании сложных систем (например, программного обеспечения) он позволяет проработать основные технические вопросы и устранить возможные не состыковки. В рамках статьи были размещены знания про то, какие информационные модели есть, как они создаются и другая полезная информация, что пригодится на практике.

В описываемой статье мы разберем подробно, что такое модель в информатике. Рассмотрим виды, а также способы проектирования. В данном разделе имеется множество полезных знаний, которые позволят будущим специалистам в сфере информационных технологий работать без каких-либо усилий. Для того чтобы решить любую задачу, причем неважно, научную или производственную, следует придерживаться цепочки: объект, модель, алгоритм, программа, результат, реализация. Нужно обратить внимание на второй пункт. Если этого звена не будет, то и сама проектировка не подлежит исполнению. Для чего же используется модель, и что под этим словом подразумевается? Далее раскроем этот вопрос.

Модель

Что такое модель в информатике? Благодаря ей можно составить образ какого-либо объекта, который реально существует. Также при необходимости можно отобразить все его свойства и признаки.

Для того чтобы решить какую-то задачу, следует сделать ее модель, ведь именно она и будет использоваться при дальнейшем проектировании. В школьном курсе информатики данные понятия вводятся уже в шестом классе. Однако в самом начале учат детей лишь пониманию, что же это такое.

Классификация

Описываемым термином можно назвать описание какого-либо процесса, его изображение, схему, уменьшенную копию реального объекта и так далее. Учитывая все вышеперечисленное, следует сказать, что модель - довольно широкое понятие. Его можно разделить на группы: материальное, идеальное.

Под первым типом понимают комплекс данных, который представляет собой реальный объект. Это может быть либо тело, либо процесс и так далее. Данная группа делится еще на два типа: физические, аналоговые. Эта классификация полностью условная, так как между указанными двумя подвидами нет никакой четкой черты.

Идеальную модель охарактеризовать еще труднее, потому что она связана полностью с воображением человека, его восприятием мира. К ней также можно отнести и любое произведение искусства, в том числе картины, прозу, спектакли и так далее.

Цели моделирования

Рассматривая, что такое модель в информатике, необходимо также сказать и о целях ее создания.

Моделирование - довольно важный этап, так как он позволяет осуществить большое количество задач. Именно об этом мы далее и поговорим.

Для начала, моделирование позволит человеку больше узнать о том, что его окружает. Если говорить в обширном смысле, то в самой древности люди собирали какие-то данные, информацию, факты и передавали из поколения в поколение. Примером можно назвать модель нашего мира, которая называется “глобус”. В прошлые века, как правило, моделирование было построено на несуществующих объектах, с трудом познаваемыми человеком, которые на данный момент уже имеют свою реализацию в качестве материального предмета. Большинство из них прочно закрепились в нашей жизни. Речь может идти о зонтах, мельницах и так далее.

На данный момент модели систем информатики касаются путей достижения максимального эффекта от принимаемых решений, а также обращают внимание на последствия какого-либо процесса или же действия. Если говорить о последнем подпункте, то в пример можно привести модель, которая выясняет, какие последствия будут в результате повышения стоимости проезда либо после утилизации каких-либо отходов под землей.

Задачи моделирования

Рассматривая, что такое модель в информатике, необходимо еще сказать о задачах данного способа проектирования. Описываемый процесс имеет несколько общих целей, о которых мы и поговорим далее. Если рассматривать более детально, то задачами являются этапы решения каких-либо проблем. То есть, в принципе, таковой можно назвать небольшую цель, с которой необходимо справиться, чтобы достигнуть определенных высот.

Классификация задач

При этом делятся данные задачи на две группы. Речь идет о прямых и обратных. Что касается последних, то подобные формулировки ставят перед разработчиком вопросы типа: “Как увеличить эффективность до максимума?” или “Какое же действие полностью удовлетворит имеющееся условие?” Если говорится о прямых, то такие задачи ставят перед человеком вопросы о том, что будет, если разработчик поступит так или иначе. Нужно заметить: любая прямая формулировка имеет исходные данные, а также ставит конкретные условия.

Вербальная модель

Также необходимо рассказать о видах моделей в информатике. Рассмотрим первую: вербальную. Такой метод моделирования позволяет работать с идеальными или абстрактными вопросами. Следует заметить, что в науке считаются двумя основными видами математический и информационный. Хоть и вербальный на данный момент не сильно распространен, однако он используется. Под ним подразумевают, что все задачи, цели и так далее описываются с помощью букв и связанных предложений. К таковым моделям можно отнести обычную художественную литературу, составленный протокол, какие-либо правила, информацию, описание предмета, явления и так далее.

Математическая модель

Математическая модель - это в информатике один из главных видов проектирования. Она еще известна, как алгоритмическая. Следует заметить, что между математическим и информационным видами граница максимально условная. Об этом уже говорилось ранее.

Если не задаваться сложными терминами, а попытаться объяснить простым языком, то описываемая модель необходима для того, чтобы решить любую задачу или достигнуть цель при помощи математической точки зрения. Следует заметить, что каждый человек в реальной жизни занимается постоянно проектированием такой модели. Допустим, обычная бытовая задача, например, купить что-то в магазине, требует составления таковой. Человек знает, сколько стоят продукты. Необходимо посчитать, какая сумма в итоге нужна для осуществления покупки, сложив все данные. Это является обычным примером математической модели.

Информационная модель

Следует заметить, что с этим видом моделирования нужно ознакомиться любому человеку, который видит свое будущее в IT-сфере. Как правило, все информационные модели создаются при помощи компьютерной техники. Причем речь идет не только конкретно о проектировании каких-то диаграмм, но используются еще и таблицы, рисунки, чертежи, схемы и так далее.

В целом информационная модель представляет собой свойства того объекта, который мы отображаем, максимально описывая его состояние, а также то, насколько он связан с окружающим миром, отношение к другим внешним предметам и влияние на них. Следует отметить, что информационной моделью может служить обычный текст, рисунок, словесное описание, чертеж, формула и так далее.

Такой вид отличается от других вышеперечисленных тем, что он является данными. То есть модель не имеет материального воплощения, так как считается примитивным комплексом информации, представленной в разном виде.

Системный подход к созданию модели

Классификацию моделей в информатике мы уже рассмотрели, теперь следует сказать о том, какой подход следует использовать, чтобы составить идеальную схему.

Необходимо понять, что такое система. Это комплекс элементов, которые взаимодействуют между собой, а также работают вместе для того, чтобы выполнить определенную задачу. Построение модели связано с использованием системного подхода. Объектом будет считаться любой комплекс, который функционирует в качестве единого в специальной среде. Иногда бывает так, что проект довольно сложный, поэтому систему делят на две части.

Цель использования

Приведем примеры моделей в информатике, для того чтобы понять, какими целями руководствуются производители при создании записи.

Следует заметить, что есть такие виды, как учебные, имитационные, игровые и так далее. Рассмотрим их.

К учебным относятся все материалы, при помощи которых осуществляется обучение.

К опытным следует добавить модели уменьшенной копии, создаваемые на основе реальных объектов.

Имитационные могут служить информацией, которая позволит понять, что произойдет в результате какого-либо действия. К примеру, если человек проводит реформу, он должен составить такую модель. Это поможет приблизительно понять то, как люди отреагируют на новые изменения. Либо же, например, чтобы человеку сделать операцию по пересадке какого-либо органа, в самом начале исследований проводится большое количество опытов. Их также можно назвать имитационной моделью. Таким образом, она представляет собой систему проб и ошибок. Это позволяет принимать более оправданные решения.

Игровой моделью является система, которая ставит определенные объекты в какие-либо рамки. Это может быть экономическая, деловая или военная игра. Таким образом, человек способен понять поведение определенного объекта в нужной ему среде.

Научно-техническую следует использовать для того, чтобы изучить какое-либо явление и процесс, который трудно исследовать в обычной жизни. Это может быть создание прибора, имитирующий грозовой разряд, либо же модель движения, полностью копирующая солнечную систему.

Способ представления

Подытоживая все вышесказанное о моделях данных в информатике, необходимо разузнать, как же представляется созданная запись.

Она бывает материальная и нематериальная. К первому виду нужно отнести все копии, которые были сняты с существующих объектов. Таким образом, их можно взять в руки, потрогать, понюхать и так далее. Они даже способны имитировать какие-либо свойства оригинального объекта, а также его действия. Данные материальные модели являются опытным методом проектирования.

К нематериальным относятся те, которые работают на теории. Они идеальные либо же абстрактные. Эта категория также имеет несколько типов. Речь идет об информационных, а еще воображаемых вариантах. Первый представляет собой перечень данных, который касается определенного объекта. Таковыми можно назвать таблицы, рисунки, схемы и так далее.

Однако многих их интересует, почему же данная модель класса информатики считается нематериальной. Текст хоть и напечатан, таблица составлена, но его потрогать нельзя. Именно поэтому данная модель является абстрактной. К слову, среди информационных вариантов записи имеются наглядные примеры.

К воображаемой модели относят то, что называется творческим процессом, то есть все происходящее в сознании человека. Это побуждает его создать на основе данной схемы оригинальный объект.

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод сочетает в себе достоинства, как теории, так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в системах передачи и обработки информации, к сокращению сроков исследования и разработки новых телекоммуникационных систем и сетей.

МОДЕЛЬ ("модель" от лат. "modelus", что означает "мера") - мысленно предста-вимая или материально реализованная система, которая, отражая и воспроиз-водя объ-ект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изуче-ние ее дает новую информацию об этом объекте . М. в самом широком смысле - это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала).

Таким образом , под моделью мы будем понимать совокупность объектов (понятий, свойств, признаков, знаков, геометрических элементов, материальных предметов) и отношений между ними (называемых моделирующими), которые выражают существенные с точки зрения цели моделирования стороны изучаемого объекта, явления или процесса . Короче, модель - это некоторое упрощённое подобие реального объекта, процесса или явления.

М. строится для достижения определенной цели, однако для одного и того же объ-екта можно построить, преследуя одну и ту же цель, разные модели. Поэтому можно считать, что М. некоторого объекта А (оригинала, прототипа) - это объект В, в каком-то отноше-нии подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него, вы-бранный или по-строенный, по крайней мере, для одной из следующих целей:

1) замена оригинала А моделью B в некотором реальном или воображаемом дейст-вии, ис-ходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (т.н. называемая модель-заместитель );

2) создание наглядного представления об объекте А (реально существующем или вообра-жаемом) с помощью объекта В (т.н. называемая модель-представление );

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (т.н. называемая мо-дель-ин-терпретация );

4) исследование (изучение) объекта А посредством изучения объекта В (т.н. назы-ваемая исследовательская модель).

Пример.1 . В курсе математики представлены все перечис-ленные виды мо-делей. Так, уравне-ние, со-ставленное по условию текстовой задачи, вы-сту-пает как модель-заместитель исходной задачи; чер-теж некоторого геометрического объекта, построенный для доказательства утверждения, в кото-ром идет речь в этом утверждении, яв-ляется моде-лью-представлением рассматриваемого объекта; урав-нение (x -a ) 2 + (y - b ) 2 = R 2 является моделью-интерпретацией окружности.

М. обычно обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Например, модель-заместитель может использоваться и как модель-представ-ление, и как мо-дель-интерпретация, и как исследовательская модель. Так, модель-ин-терпретация окружно-сти вполне пригодна для исследования свойств окружности, а, значит, она является и моде-лью исследовательской.

По способу построения модели бывают материальные и идеальные . В качестве ма-тери-альных моделей могут выступать копии оригинала (уменьшенные или увеличен-ные), причем они могут быть динамические и статические ; в качестве идеальных - изображения, описа-ния, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, компью-тер-ные программы и т.д.

Пример 2. В медицине многие лекарственные препараты, разрабатывае-мые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели че-ловека; моделью некоторой местности может служить географическая карта, пользуясь которой, мы получаем нужную нам информацию об этой местности; моделью прямолиней-ного равномерного движения служит уравнение s = v 0 +vt , исследование ко-торого дает воз-можность устанавливать ос-новные закономерности данного вида движения; моделью неко-торого предмета, явления, процесса или ситуации (как реальных, так и «вирту-альных») могут служить компьютерные программы, пре-доставляющие в распоряжение ис-следователя прак-тически неограниченные возможности для их изу-чения и прогнозирования развития; и т.п.

М. всегда является лишь ото-бражением оригинала, и она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и по-зволяет перенести по-лученные при этом знания на исходный объект. Например, когда в начальных школе учитель намеревается более наглядно продемонстрировать способ сложения нату-ральных чисел, то он использует для этого различные модели этих чи-сел: реальные пред-меты или их изображения, абак, русские счеты, и др. Многие дет-ские игрушки, пред-ставляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, по-ездов, животных и т.п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окру-жающих его предметов.

М. строится с тем расчетом, чтобы охватить только те свойства ориги-нала, которые существенны в данной ситуации и являются объектом изучения. Например, сущест-вует разнообразные модели обучения математике; одни из них позволяют исследо-вать сте-пень усвоения материала, другие - познавательную активность, третьи - твор-ческую матема-тическую деятельность, и т.д. Для изучения поведения проектируемого самолета в воздухе строят уменьшенную во много раз его модель и помещают ее в аэродинамическую трубу. Затем по поведению этой модели в различных воздушных потоках, создаваемых в трубе, судят о том, как будет вести себя в полете настоящий самолет.

М., полностью воспроизводящая оригинал, перестает быть моделью.

Существует ряд общих требований к моделям:

1. Адекватность - достаточно точное отображение свойств объекта;

2. Полнота - предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3. Гибкость - возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование - это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1. Разработка модели;

2. Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

Метод моделирования во многих науках является средством, позволяющим ус-та-навли-вать более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом и способ-ным заменить эксперимент.

Целый ряд исследований вообще невозможен без моде-лирования, по-тому, что:

а) эксперименты могут проводиться лишь на ныне существующих объектах, т.к. невоз-можно распространить эксперимент в область прошлого;

б) вмешательство в некоторые системы иногда имеет такой характер, что невоз-можно ус-тановить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим при-чинам);

в) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низ-кого уровня развития экспериментальной техники или ее высокой стоимости;

г) большую группу экспериментов, связанных с человеком, сле-дует отклонить по мо-рально-этическим соображениям.

Однако М. находит широкое применение не только из-за того, что может за-менить эксперимент.

Оно имеет большое самостоятельное значение и свои преимущества:

1. С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разрабо-тать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явле-ние, и вы-брать наи-более плодотворную из них для теоретического истолкования.

2. В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к иссле-дуемой ги-потезе и получить ее упрощение.

3. В случае сложных моделей можно применять компьютерную технику.

4. Существует возможность проведения модельных экспериментов. И др.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием.

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений - эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования.

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1. Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2. Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - приближенное описание ка-кого-либо явле-ния внешнего мира, выраженное с помощью математической сим-волики . Ма-тематиче-ские модели описываются с помощью средств самой математики: языка , понятий , отно-шений , теорий . В отличие от есте-ственнонауч-ных и гуманитарных дисциплин М.м. обычно не требует создания ма-териали-зованных объектов. Кроме то-го, если все дру-гие науки изу-чают модели, то ма-тематика изучает «модели моделей ». Потому ее мате-риал в наилуч-шей степени соответствует задаче овладения методом моделиро-вания.

Примером М.м. достаточно сложно-го оригинала служит система уравне-ний (и не-равенств) в самом широком понимании. Система может содержать обыкновен-ные дифферен-циальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, алгебраи-ческие и трансцендентные уравнения (и неравенства), набор ве-роятностно-статистических данных и т.д. К математическим моделям относят и про-граммы, составленные для ком-пьютеров, которые моделирую (отражают) оп-ределен-ные процессы, описанные средст-вами математики, положенными в основу ал-горит-мов.

Пример 3. Развитие ЭВМ и методологии системного анализа дало возможность для изуче-ния широкомас-штабных социальных процессов. Возникло так называемое глобальное моде-лирование и на его основе - прогно-зирование мировых социальных явлений.

Основоположником и «идейным отцом» такого рода исследований считается Дж. Форре-стер . В своей ра-боте “Мировая динамика” (1971 г.) он сделал успешную попытку использо-вать математиче-ские методы и ЭВМ для создания варианта модели экономического развития общества с учетом двух важнейших факторов - числен-ности населения и загрязнения окру-жающей среды. Расчеты показали, что при сохранении тенденций развития общества неиз-бежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот кризис объяс-няется проти-воречием между ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригод-ных для сельскохо-зяйст-венной обработки площадей и все рас-тущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост насе-ления, промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению окру-жающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основа-нии анализа этих результатов де-лается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материаль-ного по-требления.

В 80-х годах XX века появляются оригинальные работы в области глобального модели-рования в Советском Союзе. Группой ученых под руководством академика Н.Н. Моисеева в Вычисли-тельном Центре АН СССР была сделана попытка проанализировать математиче-скими мето-дами структуру международной конфликтной ситуа-ции. Основной вывод, кото-рый сле-довал из анализа составлен-ной модели, состоял в следующем. Несмотря на сложную зависи-мость целевой функции, общей для всех партнеров (функции риска ядерной войны), в дейст-виях участников конфликта, в такой сверх-сложной и сверхопасной ситуации, какой является гонка ядерных воо-ружений, существует взаимо-выгодный и эффективный компромисс.

М.м. отдельного элемента относительно проще - она может ока-заться геометриче-ским образом, функцией или ее графиком, вектором, матрицей, числовой табли-цей, скалярной величиной или даже конкретным чис-лом.

Построение мо-дели, адекватно отра-жающей объект, - дело непростое и требует специ-альных знаний и хорошей математиче-ской подготовки.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ сводит исследование внешнего мира к мате-ма-тическим задачам.

Процесс математического моделирования состоит из четырех эта-пов:

1) формализации , т. е. перехода от реальной практической задачи (исследуемой си-туа-ции) к по-строению аде-к-ватной математической модели и формулировки на ее ос-нове абст-рактной математической задачи;

2) решения задачи путем преоб-разования модели (проведение математического иссле-дования ), т.е. получение в результате анализа и исследования модели выходных данных (теоретических сведений);

3) интерпретации полученного результата , когда решение формальной математи-че-ской задачи исследуется на предмет его соответствия с исходной ситуацией, истол-ковыва-ется в терминах исходной ситуации и применяется к ней;

4) модернизации модели , т.е. построение новой более совершенной модели в связи с на-коплением данных об изучаемом объекте или процессе.

Пример 4. Разработка модели Сол-нечной системы . Наблюдения звездного неба, начавшиеся еще в глубокой древности, при-вели к тому, что из всего многообразия небесных светил были выде-лены планеты, которые и стали объектом изучения. Следующим ша-гом явилось изучение закономер-ностей их дви-жений, т.е. построение моделей и получение конкретных резуль-татов. Модели Солнеч-ной системы в процессе своего развития прошли через ряд усовершенствований по мере накоп-ления экспе-риментальных данных и развития науки. Первой была модель Птолемея, создан-ная во II веке нашей эры, исходила из положения, что планеты и Солнце совершают движе-ния вокруг Земли (т.н. геоцентриче-ская модель).

В XVI веке появилась модель Н. Коперника , принципи-ально отличающаяся от предыдущей, пола-гающая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружности (т.н. гелиоцен-три-ческая модель). Затем появи-лась модели И. Кеплера (начало XVII века), И. Ньютона (вторая поло-вина XVII века), описывающие движения пла-нет на ма-тематическом языке. Модель Ньютона , осно-ванная на законе всемирного тяготения, вполне удовлетворительно описывала движение известных планет и давала возможность вы-чис-лять их положение на небо-своде.

Но вот к 40-м годам XIX в. не-которые результаты этой мо-дели стали тоже не согласовываться с экспе-риментальными данными: наблюдаемое движе-ние Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. Французский ученый-ас-троном У. Леверье расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической плане-той (он на-звал ее Нептуном) и, пользуясь новой математической моделью, определил все ос-нов-ные па-раметры этой планеты. В указанное время и на предсказанном им месте в 1846 году астро-номы убедились в реальном существовании еще одной планеты Солнечной сис-темы. По-добные вычисле-ния, сделанные П. Лоуэлом, при-вели в 1930 году к открытию де-вятой пла-неты, получившей название Плутон.

В ходе многовекового исторического развития математики сконст-руированы осо-бые мо-дели количественных отношений и пространственных форм ок-ружаю-щего мира. Это такие математические понятия, как число, функция, уравнение, гео-метриче-ская фигура и др. Хотя математическая модель и создается человеческим разумом, в даль-нейшем она во многих случаях становится предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реаль-но-стей, т.е. абст-рактные математические открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира.

Например, представле-ние, что числа бывают только, скажем, до миллиарда (а дальше чисел нет!) прямым наблюдением вряд ли может быть опро-вергнуто. Только создание мате-матиками древности такого понятия нату-рального числа (такой модели), при ко-тором нату-ральных чисел оказывалось беско-нечно много, позволяет это сделать. С помощью модели геометрии Лобачевского че-ловечество пришло к пониманию искрив-ленности пространства, абстрактные функ-циональные зависимости дают возможность пред-сказывать развитие тех или иных процессов, модели геометрических тел позволяют на прак-тике определять количе-ст-венные характеристики окружающих нас предметов и т.д.

Для исследования существующих и построения новых моделей в математике раз-рабо-таны специальные методы. Среди них методы теории графов, теории вероятно-стей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, ак-сио-матический метод, методы иссле-дования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. Так, идеи метода моделирования находят свое примене-ние при решении тексто-вых задач: во-первых, само понятие текстовой задачи можно ввести, пользуясь поня-тием «модель», во-вторых, понятия мо-дели позволяет строго определить понятия «метода решения» и «способа решения» тексто-вой задачи.

В математике разработаны и особые методики использования на практике матема-тиче-ских моде-лей, например, приемы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, изучение различных явлений и процессов с помощью исследования соот-ветствующих функ-ций, графов, геометрических фигур и т.д.

Пример 5. Общеизвестно, что, разрезая конус плоскостями, не проходящими через его вершину, мы полу-чаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы (рис. 4.7). Их называют коническими сече-ниями . Еще древнегреческие ученые начали зани-маться изучением этих кривых, т.к. они встречаются в различ-ных явлениях природы и в че-ловече-ской деятельности (в астро-номии, в во-енном деле, в физики и т.п.). Однако лишь, ко-гда поя-вились уравнения конических сечений, полу-ченные методом координат, изучение этих кри-вых значительно продвинулось вперед, и были ре-шены многие задачи, связанные с ними. Так, И. Кеплер (1609 г.) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (1687 г.) теоретически обосно-вал, что планеты и кометы Солнечной сис-темы движутся по этим кривым.

Заметим, что уравнения x 2 + y 2 = r 2 , y = kx 2 и выступают в каче-стве мо-делей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, соответственно, а эти кривые в свою очередь можно рас-сматривать как геометрические модели указанных уравнений.

ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ . Большую роль в современной науке (т.е. не только в ма-тематике) играют знаковые мо-дели . Они позволяют в виде выражений, формул, урав-нений и т.п. отображать различные процессы и существенные отношения между изу-чаемыми предметами и явлениями, с помощью термина (слова) или знака - вводить новое понятие. Например, вы-ражение a +b служит моделью суммы двух чисел; фор-мула m =2k , где k ÎN , задает четные на-туральные числа; уравнения Zn - 2e = Zn 2+ и 2H + + 2e = H 2 описывают реакции с отдачей и приемом электронов. Каждому образо-ванному человеку не составляет труда понять, что вы-ражают формулы H 2 O, H 2 SO 4 , E =mc 2 , a 2 + b 2 = c 2 , S = a·b , и знаки «=», «+», «sin», «+», «g », «», «e », «p» соответст-венно в химии, фи-зике и математике.

Часто одна и та же знаковая модель описывает различные объекты или процессы. На-пример, знаковая модель «A » может отображать точку, множество, высказывание, объект; модель «y = k·x » - зависимость между ценой, стоимостью и количеством то-вара; или между работой, производительностью труда и временем выполнения ра-боты и др. С другой сто-роны, один и тот же процесс можно описать разными моде-лями. Например, реакцию взаимо-действия цинка с уксусной кислотой в молекуляр-ном виде задают уравнением Zn + 2CH 3 COOH = Zn(CH 3 COO) 2 + H 2 , в молекулярно-ионном - уравнением Zn+2CH 3 COOH = Zn 2+ + 2CH 3 COO - + H 2 .

З.м. понятия «число» . Понятие числа явля-ется одним из важнейших в математике и центральным понятием курса математики в на-чальной. Появившись в простейшем виде еще в первобытном об-ществе из потребностей счета, понятие числа совершенст-вова-лось на протяжении всего последующего развития человеческой цивилизации. В вузе сту-денты, в силу выбранной профессии, изучают большинство известных число-вых множеств, и они знают, что развитие понятия числа происходило под влиянием двух факторов: прак-тиче-ской деятельности человека и внутренних потребностей ма-тематики. В процессе обучения у них формируется представление о том, что бывают порядковые числа, ко-личественные числа, числа как меры величин и числа как ком-понент вычислений.

Однако многие из них не видят разницы между понятием числа и его названием (за-писью), для большинства из них эти понятия тождественны. На во-прос: «Какие числа называются натуральными?», - обычно следует ошибочный ответ: «1, 2, 3 и т.д. - это натуральные числа». Ответ неправильный, по-тому что студенты в данной ситуации подменяют само понятие его обозначением: 1, 2, 3 и т.д. - это не на-туральные числа, а их обозначения, их символы, их знаковые модели . Понятие числа, возникшее как ма-тематическая модель операции пересчета предметов, само стано-вится основой для построения новых математических моделей.

Системы счисления и нумерации - это способы знаково-сим-воличе-ского модели-рования натуральных чисел. Например, любое натуральное число s в десятич-ной сис-теме счисления можно представить в виде:

s = a n 10 n + a n -1 10 n -1 + a 1 10 1 + a 0 = a n a n -1 a 1 a 0 , где a i < 10, i = 0,1,2, n , a n ≠ 0.

Числа a i называются однозначными числами , а их обозначения (символы 1, 2, 3, 9, т.е. знаковые модели) называются цифрами . Следовательно, и запись a n a n -1 . a 1 a 0 есть знаковая модель числа s . Другими знаковыми моделями натуральных чисел яв-ляются их представле-ния цифрами римской нумерации, старославянской нумерации и др.

Большое разнообразие знаковых моделей представляют в наше распоряжение ра-цио-нальные числа, которые можно записать в виде:

а) обыкновенной дроби, например, 12/7, 2/3;

б) десятичной конечной или десятичной бесконечной периодической дроби, на-пример, 3,5; 2,(36); 12,17(3);

в) конечной непрерывной (или цепной дроби), например,

;

г) систематической дроби, например,

В зависимости от целей, которые стоят перед исследователем, используется та или иная знаковая модель рационального числа. Так, при проведении теоретических ис-следований предпочтении отдают непрерывным дробям, при выполнении практиче-ских вычислений - десятичным и обыкновенным, и т.д.

Универсальной моделью действительного числа является бесконечная десятичная дробь. При этом, если эта дробь периодическая, то изображаемое ею действительное число является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то изображаемое ею действительное число является иррациональным. Другими знаковыми моделями действительных чисел яв-ляются непрерывные дроби (конечные и бесконечные), ир-рациональные числа, которые изо-бражаются с помощью знаков корней (, , и др.), трансцендентные числа (p = 3,141592, e = 2,718281 и др.).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МОДЕЛИРОВАНИЕ . Особая роль принад-лежит модели-рованию в установлении истинности той или иной формы теоретиче-ского знания (ак-сиоматической теории, гипотезы и т.д.). Модель здесь можно рас-сматривать как ору-дие проверки того, действительно ли существуют такие связи, от-ношения, структуры, закономерности, которые формулируются в данной теории и выполняются в модели, а ус-пешная работа модели - это практическое доказательство истинно-сти теории, т.е. это часть экспериментального доказательства истинности этой теории.

Сформулировав основные по-нятия (объекты и отношения), а так же ак-сиомы неко-торой теории, мы имеем лишь ло-ги-че-скую схему , в кото-рой все понятия счита-ются «пустыми» (не имеющими конкретный смысл). Требование только одно: данные по-ня-тия должны формально удовлетворять аксиомам. Ос-тальные свой-ства этих и новых понятий (т.е. тех, которые будут введены в дальнейшем) должны быть ло-гически вы-ведены из ак-сиом.

Придав основным объектам и отношениям аксиоматики конкретный смысл, мы по-лучим ее модель. Ценность моделей в этом случае заключается в том, что они дают возможность прове-рить логическую стройность аксиоматики . При этом, как только понятиям аксиоматики при-дан конкретный смысл, ее ак-сиомы становятся теоремами , которые уже нужно доказы-вать.

Так, моделями булевой алгебры являются алгебра множеств и ал-гебра вы-сказыва-ний, моделью числового поля - множество действительных чисел с заданными на нем операциями сложения и умножения. Интересные модели предоставляют в наше рас-поряжение аксиоматики евклидовой гео-метрии и геомет-рии Лобачевского.

Пример 6 . Модель №1 евклидовой геометрии. Условимся под словами «точка», «прямая» и т.д. подразуме-вать следующее (другими словами, придадим конкретный смысл основным понятиям). «Точка » - любая точка обыкновенной плоскости, кроме одной точки O ; «прямая » - окружность в широком смысле, проходящая через точку O , т.е. любая окруж-ность или прямая, проходящая через точку O (можно считать, что обыкновенная прямая - это окружность с бесконечно большим радиу-сом.); «принадлежит » - в обычном смысле. Чтобы не услож-нять пример, истолкование других слов («между », «конгруэнтен » и т.д.) приводить не бу-дем.

Можно показать, что для таких «точек» и «прямых» выпол-няются все ак-сиомы евклидо-вой гео-метрии. Например, аксиома «Через две раз-личные точки проходит одна и толь-ко одна пря-мая » ста-новится в на-шей модели теоремой «Через три точки проходит единствен-ная ок-ружность в широ-ком смысле ». Дока-жем ее. Пусть «точки» B и C (рис. 4.8) таковы, что точка O не лежит на пря-мой BC .

Из планиметрии Евк-лида известно, что через три точки (B , C и O ), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если же «точки» B и C таковы, что BC проходит через O , то B и C определяют единст-венную прямую, прохо-дя-щую через O . Что и требовалось доказать.

Пример 7 . Модель №2 евклидовой геометрии. Введем словарь по-нятий. «Точка » - всякая упо-рядоченная пара чисел (х,у) ; «прямая » - множе-ство точек, координаты которых удовле-творяют урав-не-нию вида

Ax + By + С = 0; «при-надле-жит » - «точка» (x 0 ,y 0) лежит на «пря-мой» Ax + By + С = 0, если Ax 0 + By 0 + С = 0; «между» - точка B (x 2 ,y 2) лежит между A (x 1 ,y 1) и C (x 3 ,y 3), если выполняется хотя бы одно из сле-дующих отношений: x 1 <x 2 <x 3 , x 3 <x 2 <x 1 , y 1 <y 2 <y 3 или y 3 <y 2 <y 1 ; «конгруэнтен» (для отрезков) - отрезок A (x 1 ,y 1)B (x 2 ,y 2) кон-груэнтен от-резку C (x 3 ,y 3)D (x 4 ,y 4), если (x 1 -x 2) 2 + (y 1 -y 2) 2 = (x 3 -x 4) 2 + (y 3 -y 4) 2 и т.д.

Геометрия Лобачевского, не получившая признания при жизни ее автора, стала из-вест-ной только после того, как появилась ее первая модель.

Пример 8. Модель Кели-Клейна геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Плос-кость » - фик-си-рованный круг; «точка » - обычная точка, находящаяся внутри круга, «пря-мая » - хорда окружнос-ти (без концов); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, истолкование дру-гих слов приводить не будем.

Можно показать, что на этой модели выполняются все аксиомы геометрии Евклида кроме ак-сиомы IV о па-раллельных. Вместо нее выполняется аксиома Лобачевского: «Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную». На рис 9а через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , параллельные «прямой» a .

Пример 9 . Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Точка » - обыч-ная точка, находящаяся в верхней полуплоскости (x >0), «пря-мая » - луч, перпендику-лярный оси X, а также полуокружности, опирающиеся на ось X (см. рис. 9б); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, ис-толкование других слов при-водить не будем. На рис. 9б через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , парал-лельные «прямой» a .

Наличие моделей доказывает, что сис-тема ак-сиом Лобачевского является непро-тиворечивой.

Построение моделей геометрий Евклида и Лобачевского позволило решить про-блему 2000-летней дав-ности: можно ли доказать аксиому о параллельных, т.е. вы-вести ее из дру-гих аксиом? Те-перь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома не зави-сит от остальных ак-сиом. Независи-мость вытекает из того факта, что после замены аксио-мы параллельности Евклида на ак-сиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую си-стему аксиом.

Открытие неевклидовой геометрии показывает, что появление новых математиче-ских мо-делей нередко означает не только принципиальный поворот в развитии самой математики, но и меняет существующие знания об окружающем нас мире.

МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ. Модели помимо всего прочего являются тем учебным средством, без кото-рого невоз-можно полно-цен-ное обучение. На уроках математике в начальной школе находят применение как материальные, так и идеальные модели. К ним относятся, например, наглядные пособия, которые воспроизводят реальные и идеальные объекты, передают их структуру, существенные свойства, связи и от-ноше-ния, допуская при этом уменьшение или увеличение раз-мера, схематическое изобра-же-ние. По способу предъявления учащимся такие модели делятся на демонстрацион-ные и раз-даточные (индивидуальные ).