Расчет сложных электрических цепей эквивалентными схемами. Территория электротехнической информации WEBSOR. Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

Постоянным током являются передвигающиеся в определенном направлении частицы с зарядом. По-другому ток можно назвать такими величинами, как или напряжение, которые являются постоянными и в направлении, и по значению.

Рассмотрим его характеристику, применение, а также электрические цепи постоянного тока. Ответим на вопросы, каким образом проводится исследование электрической цепи, как она рассчитывается и на некоторые другие.

От плюса к минусу или наоборот?

В источнике электроны передвигаются от минусового значения к плюсовому. Несмотря на то что все об этом знают, принято считать направление от плюса к минусу. Интересно почему? Нам объясняют, что так исторически сложилось. Но так ли это на самом деле? Ведь эта «история» сложилась в какой-то совершенно незначительный промежуток времени.

В постоянном токе действуют главные законы электротехники: закон Ома и законы Кирхгофа. Ток называли раньше гальваническим, так как получили его в результате гальванической реакции. Когда начали проводить в дома, велись жесткие споры о том, какой ток вводить: постоянный или переменный. «Войну» выиграл второй, так как он оказался менее затратным. Его гораздо проще передавать на большие расстояния благодаря легкой трансформации.

Как получается постоянный ток

Но и не исчез из использования постоянный ток. постоянного тока встречаются, к примеру, в аккумуляторах.

Ток вырабатывается посредством электромагнитной индукции, после чего происходит выпрямление коллектором. Такую реакцию производит генератор, где тоже вырабатывается постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока могут трансформироваться из переменного за счет преобразователей и выпрямителей.

Область применения

Применение этого вида достаточно широко. В большинстве бытовых приборов дома, к примеру, в компьютерном модеме, зарядке для мобильника, электрочайнике или кухонном комбайне работает именно постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока вырабатываются и преобразуются на автомобильном генераторе и любом портативном приборе. На нем функционируют все промышленные двигатели, а в отдельных странах даже высоковольтные линии электрических передач. Даже в некоторых медицинских приборах он применяется.

Постоянный ток является более безопасным, так как смертельный исход может наступить при ударе током от 300 мА, а при переменном — уже при 50-100 мА.

Электрическая цепь

Связь обеспечивается всеми устройствами, благодаря которым осуществляется передача, распределение и преобразование тепловой, электромагнитной, световой и иных видов энергоинформации. Процессы описаны такими как ток и напряжение.

Основные элементы электрических цепей постоянного тока

Основные элементы — это приемники и источники энергоинформации, соединяющиеся проводниками. В источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую. А в приемниках, наоборот, электроэнергия переходит в иные виды.

Цепи, где преобразование, передача и получение электрической энергии происходит при постоянном значении напряжения и тока на протяжении всего времени, называются цепями постоянного тока. Там, где процесс происходит с переменным значением — цепями переменного тока.

Чтобы произвести расчет и исследование электрической цепи постоянного тока (лабораторная работа для этих целей обычно служит), применяется схема замещения, то есть идеализированная цепь для расчета реальной. Чтобы ее получить, заменить нужно все элементы схемы. Физические процессы должны быть выражены в каждом математическом описании.

Резистивные элементы

Резистор является одним из приемников электроцепи. Его характеризует активное сопротивление, которое измеряется в Омах. Резистивные сопротивления или, как их еще называют, активные вводятся в схемы замещения, чтобы учитывать преобразующуюся электромагнитную энергию в иные виды.

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока производится, если задать положительное направление всех токов и напряжений. Выбирают направление их узла, имеющего большой потенциал к узлу с меньшим потенциалом.

При независящем сопротивлении от тока резистор называют линейным, а электрическую цепь — линейной резистивной. Вольт-амперная характеристика выражается через линейную функцию, проходящую через начало координат.

При анализе таких цепей часто применяют принцип упрощения, состоящий в замене сложных участков электрической цепи на простые. Но ток и напряжение меняться не должны. Тогда цепь свернется до самого простого вида. Соединенные резистивные элементы должны быть параллельно и последовательно преобразованы.

Последовательное и параллельное соединение

При последовательном соединении во всех элементах ток имеет одно и то же значение. Здесь напряжение определяется посредством суммы всех включенных сопротивлений, умноженной на I, то есть:

U=(R1+R2+RN)I=RI.

При параллельном соединении применяется постоянное напряжение, зато ток представляет собой сумму токов на каждом из элементов. Поэтому его можно представить как произведение напряжения на эквивалентную проводимость активных элементов. А она, в свою очередь, равна сумме проводимостей элементов. Вот из чего состоит постоянный ток.

Электрические цепи постоянного тока, помимо этого, содержат источники напряжения и тока.

Источники

Независимое напряжение (ЭДС, ток) от сопротивления внешней цепи называют его источником. Источник ЭДС (напряжения) измеряется на холостом ходу, то есть, где ток в источнике равен нулю. В схемах замещения резистор учитывает тепловые энергетические потери, которые выделяются из источника. Если он равен нулю, а источник тока — бесконечности, это — идеальный источник. Реальный всегда имеет конечное значение.

Внешние характеристики следующие: у источников ЭДС и напряжения зависимость возникает от протекающего тока, а у источника тока — от напряжения на зажимах.

Реальные источники имеют линейные и нелинейные участки. Рассмотрим методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Они описаны в законе Ома для полной цепи, где I=E/(Rh+Rbh). Тогда U= E- RbhI. Из этих формул выводятся внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость:

Rbh=∆U/∆I;
Gbh=∆I/∆U.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока производится на основе закона Кирхгофа. Методы расчета для линейных и нелинейных схем разные. Поэтому последние в рамках данной статьи не рассматриваются.

Приборы для измерения линейного участка

Цепи постоянного тока содержит источники. А приборами, его измеряющие, являются: вольтметр для измерения напряжения на участке цепи и амперметр для последовательного включения в цепь. При нулевом значении и проводимости приборы являются идеальными.

Способы включения становятся более понятными при рассмотрении их с применением измерения сопротивления. По закону Ома R=U/I.

Мы знаем, что реальные приборы не имеют нулевого значения. Поэтому возможны лишь два варианта их включения:

внутреннее сопротивление вольтметра в разы больше измеряемого амперметра — такое, чтобы снижение напряжения на нем не сокращало снижение на измеряемом сопротивлении, а напряжение, которое измеряется вольтметром должно соответствовать рабочему диапазону;
внутреннее сопротивление вольтметра соизмеримо с измеряемым, а амперметра — существенно меньше измеряемого.

Эксперимент и задания для контрольной работы

Для измерения напряжения и тока применяются соответствующие генераторы. Внутреннее сопротивление у них измеряется посредством переключателей.

Вольтметр и амперметр входят в блок АВ1.

Для измерения сопротивления применяются специальные схемы. В источнике электродвижущей силы внутреннее сопротивление должно быть выключенным.

В рекомендуемом задании, которое должна иметь контрольная работа, электрические цепи постоянного тока изучаются посредством определения параметров источника электродвижущей силы, источника тока, измерения сопротивления, изучения включения параллельного и последовательного сопротивлений, ВАХ.

В цепи постоянного тока действуют постоянные напряжения, протекают постоянные токи и присутствуют только резистивные элементы (сопротивления).

Идеальным источником напряжения называют источник, напряжение на зажимах которого, создаваемое внутренней электродвижущей силой (ЭДС ), на зависит от формируемого им в нагрузке тока (рис. 6.1а). При этом имеет место равенство . Вольтамперная характеристика идеального источника напряжения показана на рис. 6.1б.

Идеальным источником тока называют источник, который отдает в нагрузку ток, не зависящий от напряжения на зажимах источника, Рис. 6.2а. Его вольтамперная характеристика показана на рис. 6.2б.

В сопротивлении связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

Пример электрической цепи показан на рис. 6.3. В ней выделяются ветви , состоящие из последовательного соединения нескольких элементов (источника E и сопротивления ) или одного элемента ( и ) и узлы - точки соединения трех и более ветвей, отмеченные жирными точками. В рассмотренном примере имеется ветви и узла.

Кроме того, в цепи выделяются независимые замкнутые контуры , не содержащие идеальные источники тока. Их число равно . В примере на рис. 6.3 их число , например, контуры с ветвями E и , показанные на рис. 6.3 овалами со стрелками, указывающими положительное направление обхода контура.

Связь токов и напряжений в цепи определяется законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа : алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю,

Втекающие в узел токи имеют знак плюс, а вытекающие минус.

Второй закон Кирхгофа : алгебраическая сумма напряжений на элементах замкнутого независимого контура равна алгебраической сумме ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этом контуре,

Напряжения и ЭДС берутся со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с направлением обхода контура, в противном случае используется знак минус.

Для приведенного на рис. 6.3 примера по закону Ома получим подсистему компонентных уравнений

По законам Кирхгофа подсистема топологических уравнений цепи имеет вид

Расчет на основе закона Ома

Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала . Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна вели-

чина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-

Рис. 6.4 ных сопротивлений и ),

Напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

Затем можно найти токи ветвей

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.

Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.3 при и . Цепь описывается системой уравнений (6.4) и (6.5), из которой для токов ветвей получим

Из первого уравнения выразим , а из третьего

Тогда из второго уравнения получим

и, следовательно

Из уравнений закона Ома запишем

Например, для цепи на рис. 6.3 в общем виде получим

Подставляя в левую часть равенства (6.11) полученные ранее выражения для токов, получим

что соответствует правой части выражения (6.11).

Аналогичные расчеты можно проделать и для цепи на рис. 6.4.

Условие баланса мощностей позволяет дополнительно контролировать правильность расчетов.

Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета

1.1. Электрическая цепь и ее элементы

В электротехнике рассматривается устройство и принцип действия основных электротехнических устройств, используемых в быту и промышленности. Чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию этому устройству и обеспечить ему требуемый режим работы.

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.

Для анализа и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения. Электрическая схема простейшей электрической цепи, обеспечивающей работу осветительной аппаратуры, представлена на рис. 1.1.

Все устройства и объекты, входящие в состав электрической цепи, могут быть разделены на три группы:

1) Источники электрической энергии (питания).

Общим свойством всех источников питания является преобразование какого-либо вида энергии в электрическую. Источники, в которых происходит преобразование неэлектрической энергии в электрическую, называются первичными источниками. Вторичные источники – это такие источники, у которых и на входе, и на выходе – электрическая энергия (например, выпрямительные устройства).

2) Потребители электрической энергии.

Общим свойством всех потребителей является преобразование электроэнергии в другие виды энергии (например, нагревательный прибор). Иногда потребители называют нагрузкой.

3) Вспомогательные элементы цепи: соединительные провода, коммутационная аппаратура, аппаратура защиты, измерительные приборы и т.д., без которых реальная цепь не работает.

Все элементы цепи охвачены одним электромагнитным процессом.

В электрической схеме на рис. 1.1 электрическая энергия от источника ЭДС E, обладающего внутренним сопротивлением r 0 , с помощью вспомогательных элементов цепи передаются через регулировочный реостат R к потребителям (нагрузке): электрическим лампочкам EL 1 и EL 2 .

1.2. Основные понятия и определения для электрической цепи

Для расчета и анализа реальная электрическая цепь представляется графически в виде расчетной электрической схемы (схемы замещения). В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают. Источник питания показывается как источник ЭДС E с внутренним сопротивлением r 0 , реальные потребители электрической энергии постоянного тока заменяются их электрическими параметрами: активными сопротивлениями R 1 , R 2 , …, R n . С помощью сопротивления R учитывают способность реального элемента цепи необратимо преобразовывать электроэнергию в другие виды, например, тепловую или лучистую.

При этих условиях схема на рис. 1.1 может быть представлена в виде расчетной электрической схемы (рис. 1.2), в которой есть источник питания с ЭДС E и внутренним сопротивлением r 0 , а потребители электрической энергии: регулировочный реостат R, электрические лампочки EL 1 и EL 2 заменены активными сопротивлениями R, R 1 и R 2 .

Источник ЭДС на электрической схеме (рис. 1.2) может быть заменен источником напряжения U, причем условное положительное направление напряжения U источника задается противоположным направлению ЭДС.

При расчете в схеме электрической цепи выделяют несколько основных элементов.

Ветвь электрической цепи (схемы) – участок цепи с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных элементов. Схема на рис. 1.2 имеет три ветви: ветвь bma, в которую включены элементы r 0 , E, R и в которой возникает ток I; ветвь ab с элементом R 1 и током I 1 ; ветвь anb с элементом R 2 и током I 2 .

Узел электрической цепи (схемы) – место соединения трех и более ветвей. В схеме на рис. 1.2 – два узла a и b. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называют параллельными. Сопротивления R 1 и R 2 (рис. 1.2) находятся в параллельных ветвях.

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В схеме на рис. 1.2 можно выделить три контура: I – bmab; II – anba; III – manbm, на схеме стрелкой показывают направление обхода контура.

Условные положительные направления ЭДС источников питания, токов во всех ветвях, напряжений между узлами и на зажимах элементов цепи необходимо задать для правильной записи уравнений, описывающих процессы в электрической цепи или ее элементах. На схеме (рис. 1.2) стрелками укажем положительные направления ЭДС, напряжений и токов:

а) для ЭДС источников – произвольно, но при этом следует учитывать, что полюс (зажим источника), к которому направлена стрелка, имеет более высокий потенциал по отношению к другому полюсу;

б) для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС – совпадающими с направлением ЭДС; во всех других ветвях произвольно;

в) для напряжений – совпадающими с направлением тока в ветви или элемента цепи.

Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.

Элемент электрической цепи, параметры которого (сопротивление и др.) не зависят от тока в нем, называют линейным, например электропечь.

Нелинейный элемент, например лампа накаливания, имеет сопротивление, величина которого увеличивается при повышении напряжения, а следовательно и тока, подводимого к лампочке.

Следовательно, в линейной электрической цепи все элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент.

1.3. Основные законы цепей постоянного тока

Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.

Закон Ома для участка цепи

Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома

Рис. 1.3В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:

Закон Ома для всей цепи

Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r 0 (рис. 1.3), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением R Э = r 0 + R всей цепи:

Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

где m – число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1.2) I - I 1 - I 2 = 0.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

где n – число источников ЭДС в контуре;
m – число элементов с сопротивлением R к в контуре;
U к = R к I к – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.

Для схемы (рис. 1.2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Основы > Задачи и ответы > Постоянный электрический ток

Методы расчета цепей постоянного тока

Применение законов Кирхгофа. Обычно в цепи известны все источники ЭДС и источники токов и все сопротивления. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное . Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее число уравнений, составляемых по первому и по второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах раздела .

Метод контурных токов (Максвелла). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа К, определяемого формулой (0.1.10). Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число контурных токов . Рекомендуется выбирать контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в таком виде:

где - собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n ); - общее сопротивление контуров n и l , причем , если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то положительно , в противном случае отрицательно ; - алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур n; - общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока .
Примеры приведены в задачах раздела .

Метод узловых напряжений. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У, равного количеству узлов без одного

Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений (0.1.13) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.
При составлении уравнений по методу узловых напряжений вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся узлов составляется следующая система уравнений:

Здесь - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q ; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s , на их проводимости; при этом со знаком « + » берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла s, и со знаком «-» - в направлении от узла s; - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком « + » берутся те токи, которые направлены к узлу s , а со знаком « -» - в направлении от узла s.
Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число У уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, уменьшается:

где - число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
Примеры приведены в задачах раздела .
Частный случай-двухузловая схема. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы а и b ), узловое напряжение

где - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если от узла а к узлу b ) на проводимости этих ветвей; - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а к узлу b ) ; - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы а и b .

Эквивалентные преобразования схем. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.
Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (например, сопротивления соединены последовательно (см. рис. 0.1,3), также последовательны сопротивления ).
n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям

В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений

где U - общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если вес они присоединены к одной парс узлов, например, сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений (рис. 0.1.4),

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений эквивалентное сопротивление

При параллельном соединении n сопротивлений (рис. 0.1.4, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям

Ток в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи

В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 0.1.4, б)

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления (рис. 0.1.4, б) соединены смешанно. Их эквивалентное сопротивление

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 0.1.5, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 0.1.5, б), и наоборот, имеют такой вид:

Расчет схем в режиме холостого хода (см. рис. 0.1.6, б) для определения проводится любым известным методом.
Внутреннее сопротивление эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов а и b исходной схемы, из которой исключены все источники [источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены (рис. 0.1.6, г); буква П указывает на пассивный характер цепи], при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, д), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома:

Методы расчета цепей постоянного тока

Цепь состоит из ветвей, имеет узлов и источников тока. Приводимые далее формулы пригодны для расчета цепей, содержащих и источники напряжения и источники тока. Они справедливы и для тех частных случаев: когда в цепи имеются только источники напряжения или только источники тока.Применение законов Кирхгофа. Обычно в цепи известны все источники ЭДС и источники токов и все сопротивления. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное . Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее число уравнений, составляемых по первому и по второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах раздела .Метод контурных токов (Максвелла). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа К, определяемого формулой (0.1.10). Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число контурных токов . Рекомендуется выбирать контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в таком виде:

где - собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n); - общее сопротивление контуров n и l, причем , если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то положительно , в противном случае отрицательно ; - алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур n; - общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока .
Примеры приведены в задачах раздела .Метод узловых напряжений. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У, равного количеству узлов без одного Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений (0.1.13) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.
При составлении уравнений по методу узловых напряжений вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся узлов составляется следующая система уравнений:
Здесь - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s, на их проводимости; при этом со знаком « + » берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла s, и со знаком «-» - в направлении от узла s; - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком « + » берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком « -» - в направлении от узла s.
Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число У уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, уменьшается: где - число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
Примеры приведены в задачах раздела .
Частный случай-двухузловая схема. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы а и b), узловое напряжение где - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если от узла а к узлу b) на проводимости этих ветвей; - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а к узлу b); - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы а и b.

Принцип наложения. Если в электрической цепи заданными значениями являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов на основании принципа наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС отдельно и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).Эквивалентные преобразования схем. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.
Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (например, сопротивления соединены последовательно (см. рис. 0.1,3), также последовательны сопротивления ).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений где U - общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если вес они присоединены к одной парс узлов, например, сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений (рис. 0.1.4),

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений эквивалентное сопротивление При параллельном соединении n сопротивлений (рис. 0.1.4, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям Ток в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 0.1.4, б) Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления (рис. 0.1.4, б) соединены смешанно. Их эквивалентное сопротивление Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 0.1.5, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 0.1.5, б), и наоборот, имеют такой вид:

где G - проводимость соответствующей ветви.
Формулы (0.1.22) можно записать через сопротивления Пример приведен в разделе .

Метод эквивалентного источника (метол активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания). Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Рассмотрим два варианта: а) метод эквивалентного источника ЭДС и б) метод эквивалентного источника тока.
При методе эквивалентного источника ЭДС для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рис. 0.1.6, а, буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рис. 0.1.6, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 0.1.6, в).
ЭДС этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода): Расчет схем в режиме холостого хода (см. рис. 0.1.6, б) для определения проводится любым известным методом.
Внутреннее сопротивление эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов а и b исходной схемы, из которой исключены все источники [источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены (рис. 0.1.6, г); буква П указывает на пассивный характер цепи], при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, д), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома.